Chuyển đến nội dung
Dùng thử ZeroTell

Được xây dựng cho sinh viên, người viết và nhà nghiên cứu

Máy tính tích phân với các bước

Nhận nguyên hàm đã được lấy đạo hàm ngược lại về đúng hàm của bạn, hoặc tích phân xác định được tính bằng F(b) − F(a).

Thử:

Kết quả

Nhập số của bạn hoặc chọn một ví dụ — kết quả và các bước sẽ hiện ra ngay tại đây.

Tích phân bất định và xác định

  • Nguyên hàm với + C

    Tổng được tách theo từng số hạng, mỗi số hạng kèm gợi ý phương pháp, và kết quả có + C. Đạo hàm của đáp án phải trả lại đúng hàm của bạn trước khi kết quả được hiển thị.

  • Tích phân xác định giữa các cận

    Nhập cận dưới và cận trên, định lý cơ bản cho ra F(b) − F(a), chính xác khi có thể kèm giá trị thập phân.

  • Phương án số trị dự phòng

    Một số hàm như sin(x²) không có nguyên hàm sơ cấp. Với những hàm này, giá trị xác định được tính bằng quy tắc Simpson và được đánh dấu ≈.

  • Từ chối các khoảng không hợp lệ

    Nếu hàm không xác định hoặc không bị chặn giữa các cận, như 1/x từ −1 đến 1, bạn sẽ nhận được giải thích thay vì một con số gây hiểu nhầm.

Cách tính tích phân với máy tính

  1. Chọn bất định hoặc xác định

    Chọn nguyên hàm, hoặc chuyển sang xác định khi bạn cần một con số giữa hai cận.

  2. Nhập hàm và biến

    Ví dụ 3x^2 + 2x, x*sin(x) hoặc 1/(1 + x^2), lấy tích phân theo x hoặc một chữ cái khác.

  3. Thêm cận nếu cần

    Cận dưới vào ô thứ nhất và cận trên vào ô thứ hai; đổi chỗ chúng sẽ đổi dấu kết quả.

  4. Đọc kết quả và phần tóm tắt

    Mỗi số hạng hiển thị phương pháp của nó: quy tắc lũy thừa, nhân hằng số, đổi biến, tích phân từng phần hoặc kết quả từ bảng chuẩn.

Cách tính tích phân bằng tay: những phương pháp cần biết

Hầu hết tích phân trong khóa học đầu tiên dùng quy tắc lũy thừa theo chiều ngược: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C với mọi n ≠ −1, còn ∫ 1/x dx = ln|x| + C bao trường hợp còn thiếu. Tích phân của tổng được tách theo từng số hạng và hằng số đưa ra ngoài, nên ∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C.

Đổi biến đảo ngược quy tắc chuỗi. Trong ∫ 2x·cos(x²) dx, đặt u = x², khi đó du = 2x dx và tích phân trở thành ∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C. Hãy tìm một hàm bên trong mà đạo hàm của nó cũng xuất hiện như một thừa số.

Tích phân từng phần đảo ngược quy tắc tích: ∫ u dv = uv − ∫ v du. Với ∫ x·sin x dx, chọn u = x và dv = sin x dx, nên du = dx và v = −cos x. Kết quả là −x·cos x + ∫ cos x dx = −x·cos x + sin x + C.

Với tích phân xác định, tìm một nguyên hàm F bất kỳ và tính F(b) − F(a); hằng số triệt tiêu. ∫ từ 0 đến 2 của 3x² dx = 2³ − 0³ = 8. Trước tiên hãy chắc rằng hàm liên tục trên toàn khoảng: với 1/x² từ −1 đến 1, công thức sẽ cho −2, điều bất khả thi với một hàm dương, vì tích phân thực ra phân kỳ tại 0.

Câu hỏi thường gặp

Mỗi hàm có vô số nguyên hàm sai khác nhau một hằng số, vì đạo hàm của hằng số bằng không. + C đại diện cho tất cả chúng cùng lúc.

Các hàm như sin(x²) hoặc e^(−x²) không có nguyên hàm được tạo từ các hàm sơ cấp. Với tích phân xác định, máy tính sẽ chuyển sang quy tắc Simpson và ghi giá trị với dấu ≈.

Vì hàm tiến tới vô cực hoặc không xác định ở đâu đó giữa các cận của bạn, như 1/x trên −1 đến 1. Áp dụng F(b) − F(a) ở đó sẽ in ra một con số hoàn toàn sai, nên máy tính giải thích vấn đề thay vào đó.

Nó được lấy đạo hàm ngược lại và so sánh với hàm ban đầu của bạn. Chỉ kết quả nào vượt qua kiểm tra mới xuất hiện trên thẻ đáp án.

Có; phần tích phân, tóm tắt theo từng số hạng và kiểm tra đều chạy cục bộ trong trình duyệt của bạn mà không cần tài khoản. Phần giải thích bằng AI tùy chọn có trong các gói Pro* (*sử dụng hợp lý: tối đa 300 lượt mỗi ngày trên các công cụ viết, học tập và lập trình) hoặc tốn 2 tín dụng nếu không có gói, và khách chưa đăng nhập được xem trước miễn phí phần đầu tiên của nó.

Hãy coi chúng là cách để học phương pháp và kiểm tra bài làm của bạn, đồng thời tuân theo quy định của khóa học về công cụ AI. Phần giải thích do AI viết có thể có sai sót, nên hãy so sánh với kết quả đã được máy tính kiểm chứng.

Trợ giúp giải tích liên quan

Sẵn sàng tính tích phân?

Nhập hàm, thêm cận nếu bạn cần một con số, và xem phương pháp cho từng số hạng.

Tính một tích phân
  • Được kiểm tra bằng đạo hàm
  • Giá trị chính xác kèm số thập phân
  • Dự phòng bằng quy tắc Simpson