Przejdź do treści
Wypróbuj ZeroTell

Stworzone dla studentów, pisarzy i badaczy

Kalkulator pochodnych z krokami

Wpisz funkcję, wybierz rząd i zmienną, a zobaczysz pochodną wraz z regułą różniczkowania stojącą za każdym wyrazem.

Spróbuj:

Wynik

Wpisz swoje liczby lub wybierz przykład — wynik i kroki pojawią się tutaj natychmiast.

Co otrzymujesz

  • Reguła dla każdego wyrazu

    Reguły sumy, stałej, stałego mnożnika, potęgi, iloczynu, ilorazu, łańcuchowa i wykładnicza są nazwane tam, gdzie mają zastosowanie, a do form typu x^x dochodzi różniczkowanie logarytmiczne.

  • Do trzeciej pochodnej

    Wybierz pierwszy, drugi lub trzeci rząd. Każdy wyższy rząd powstaje przez ponowne zróżniczkowanie poprzedniego wyniku.

  • Wartość w punkcie

    Podaj wartość x, aby obliczyć tam pochodną — dokładnie, gdy to możliwe, plus wartość dziesiętną. Ta liczba to nachylenie stycznej w tym punkcie.

  • Sprawdzenie numeryczne

    Zanim pojawi się wynik, jest porównywany z numeryczną pochodną twojej funkcji, co wyłapuje błędy algebraiczne.

  • Uporządkowany wynik wielomianu

    Odpowiedzi wielomianowe są zapisywane według malejących potęg — w formie, której używa większość kluczy odpowiedzi.

  • Dowolna zmienna

    Różniczkuj względem x, t lub dowolnej pojedynczej litery, w której zapisana jest twoja funkcja.

Jak obliczyć pochodną ręcznie

Te reguły obejmują funkcje, które spotykasz na pierwszym kursie analizy matematycznej.

  • Reguła potęgowa

    d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹. Zatem d/dx x⁵ = 5x⁴, a ponieważ √x = x^(1/2), jej pochodna to (1/2)x^(−1/2) = 1/(2√x).

  • Reguła iloczynu

    (uv)′ = u′v + uv′. Dla x²·sin x przyjmij u = x² i v = sin x, otrzymując 2x·sin x + x²·cos x.

  • Reguła ilorazu

    (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². Dla x/(x + 1) to ((x + 1) − x)/(x + 1)², co upraszcza się do 1/(x + 1)².

  • Reguła łańcuchowa

    Zróżniczkuj funkcję zewnętrzną, pozostaw wnętrze bez zmian, a następnie pomnóż przez pochodną wnętrza: d/dx sin(3x²) = cos(3x²)·6x.

  • Funkcje wykładnicze i logarytmy

    d/dx eˣ = eˣ, d/dx aˣ = aˣ·ln a oraz d/dx ln x = 1/x. W połączeniu z regułą łańcuchową d/dx e^(2x) = 2e^(2x).

  • Różniczkowanie logarytmiczne

    Dla y = x^x oblicz ln obu stron: ln y = x·ln x. Różniczkowanie daje y′/y = ln x + 1, więc y′ = x^x(ln x + 1).

Jak korzystać z kalkulatora pochodnych

  1. Wpisz funkcję

    Wpisz ją, używając ^ dla potęg i * dla iloczynów, np. x^2 * sin(x) lub e^(2x)/x.

  2. Ustaw rząd, zmienną i punkt

    Wybierz pierwszą, drugą lub trzecią pochodną. Punkt obliczenia jest opcjonalny.

  3. Oblicz

    Odczytaj pochodną, regułę użytą dla każdego wyrazu oraz — jeśli podano punkt — dokładną i dziesiętną wartość w nim.

  4. Uzyskaj pisemne wyjaśnienie

    Wybierz „Wyjaśnij krok po kroku”, aby zobaczyć pełne rozumowanie AI do zadań matematycznych, a jeśli któryś krok nadal jest niejasny, kontynuuj w Czacie AI.

Poradniki do tego narzędzia

Najczęściej zadawane pytania

Mierzy, jak zmienia się samo nachylenie. Dodatnia druga pochodna oznacza, że wykres jest tam wypukły, a ujemna — wklęsły; w miejscu zmiany znaku może występować punkt przegięcia.

Pochodne można zapisać na wiele równoważnych sposobów: 2x·sin x + x²·cos x i x(2 sin x + x cos x) to ta sama funkcja. Oblicz obie w tym samym punkcie, aby potwierdzić, że są zgodne.

Tak. Wpisz wartość w opcjonalnym polu, a otrzymasz pochodną w tym punkcie — dokładnie, gdy to możliwe, wraz z wartością dziesiętną. Wartość dziesiętna, którą trzeba było zaokrąglić, jest oznaczona symbolem ≈.

Tak. Wyniki i zarysy reguł są obliczane w Twojej przeglądarce przez nasz własny kod — bezpłatnie i bez konta. Pełne pisemne omówienie krok po kroku zawiera wyjaśnienie AI, które jest dostępne w planach Pro* (*uczciwe wykorzystanie: do 300 uruchomień dziennie w narzędziach do pisania, nauki i kodu) lub kosztuje 2 kredyty bez planu; niezalogowani odwiedzający mogą zobaczyć podgląd jego początku.

Może. Sam wynik kalkulatora jest sprawdzany względem pochodnej numerycznej przed wyświetleniem, ale rozumowanie napisane przez AI już nie, więc czytaj je krytycznie. Używaj obu do nauki i samokontroli oraz przestrzegaj zasad swojego kursu dotyczących pomocy AI.

Kalkulator przyjmuje tylko wpisany tekst. Jeśli masz jedynie zdjęcie, AI do zadań matematycznych przyjmuje obrazy i może na ich podstawie działać.

Więcej narzędzi do rachunku różniczkowego

Różniczkuj z widocznymi regułami

Wpisz funkcję i zobacz, która reguła odpowiada za każdy składnik — z weryfikacją względem pochodnej numerycznej.

Znajdź pochodną
  • Reguły potęgowa, iloczynu, ilorazu i łańcuchowa
  • Od pierwszego do trzeciego rzędu
  • Dokładna wartość w punkcie