Przejdź do treści
Wypróbuj ZeroTell

Stworzone dla studentów, pisarzy i badaczy

Kalkulator całek z krokami

Otrzymaj funkcję pierwotną, której pochodna wraca do twojej funkcji, albo całkę oznaczoną obliczoną jako F(b) − F(a).

Spróbuj:

Wynik

Wpisz swoje liczby lub wybierz przykład — wynik i kroki pojawią się tutaj natychmiast.

Całki nieoznaczone i oznaczone

  • Funkcje pierwotne z + C

    Sumy są rozbijane składnik po składniku, każdy z podpowiedzią metody, a wynik otrzymuje + C. Zanim odpowiedź zostanie pokazana, jej pochodna musi wrócić do twojej funkcji.

  • Całki oznaczone w granicach

    Podaj dolną i górną granicę, a podstawowe twierdzenie rachunku całkowego da F(b) − F(a) — dokładnie, gdy to możliwe, plus wartość dziesiętną.

  • Obliczenia numeryczne

    Niektóre funkcje, takie jak sin(x²), nie mają funkcji pierwotnej wyrażalnej elementarnie. Dla nich wartość oznaczoną oblicza się metodą Simpsona i oznacza znakiem ≈.

  • Odrzuca niemożliwe przedziały

    Jeśli funkcja jest nieokreślona lub nieograniczona między granicami, jak 1/x od −1 do 1, otrzymasz wyjaśnienie zamiast mylącej liczby.

Jak całkować za pomocą kalkulatora

  1. Wybierz całkę nieoznaczoną lub oznaczoną

    Wybierz funkcję pierwotną albo przełącz na całkę oznaczoną, gdy potrzebujesz liczby między dwiema granicami.

  2. Wpisz funkcję i zmienną

    Na przykład 3x^2 + 2x, x*sin(x) lub 1/(1 + x^2), całkowane względem x lub innej litery.

  3. Dodaj granice, jeśli trzeba

    Dolna granica trafia do pierwszego pola, a górna do drugiego; zamiana miejsc zmienia znak wyniku.

  4. Odczytaj wynik i plan obliczeń

    Każdy składnik pokazuje swoją metodę: reguła potęgowa, stały mnożnik, podstawienie, całkowanie przez części lub wynik ze standardowej tabeli.

Jak całkować ręcznie: metody, które warto znać

Większość całek z pierwszego kursu korzysta z reguły potęgowej w drugą stronę: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C dla dowolnego n ≠ −1, a ∫ 1/x dx = ln|x| + C obejmuje brakujący przypadek. Całki sum rozbijają się składnik po składniku, a stałe wychodzą przed znak całki, więc ∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C.

Podstawienie odwraca regułę łańcuchową. W ∫ 2x·cos(x²) dx przyjmij u = x², więc du = 2x dx i całka przybiera postać ∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C. Szukaj funkcji wewnętrznej, której pochodna pojawia się też jako czynnik.

Całkowanie przez części odwraca regułę iloczynu: ∫ u dv = uv − ∫ v du. Dla ∫ x·sin x dx przyjmij u = x i dv = sin x dx, więc du = dx i v = −cos x. Wynik to −x·cos x + ∫ cos x dx = −x·cos x + sin x + C.

Dla całki oznaczonej znajdź dowolną funkcję pierwotną F i oblicz F(b) − F(a); stała się skraca. ∫ od 0 do 2 z 3x² dx = 2³ − 0³ = 8. Najpierw upewnij się, że funkcja jest ciągła na całym przedziale: dla 1/x² od −1 do 1 wzór dałby −2, co jest niemożliwe dla funkcji dodatniej, ponieważ całka w rzeczywistości jest rozbieżna w 0.

Najczęściej zadawane pytania

Każda funkcja ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych różniących się o stałą, ponieważ pochodna stałej wynosi zero. + C oznacza je wszystkie naraz.

Funkcje takie jak sin(x²) lub e^(−x²) nie mają funkcji pierwotnej zbudowanej z funkcji elementarnych. Dla całki oznaczonej kalkulator przełącza się wtedy na metodę Simpsona i oznacza wartość znakiem ≈.

Ponieważ funkcja dąży do nieskończoności lub jest nieokreślona gdzieś między twoimi granicami, jak 1/x na przedziale od −1 do 1. Zastosowanie tam F(b) − F(a) dałoby liczbę, która jest po prostu błędna, więc kalkulator zamiast tego wyjaśnia problem.

Jest różniczkowana z powrotem i porównywana z twoją pierwotną funkcją. Na karcie odpowiedzi pojawia się tylko wynik, który przejdzie to sprawdzenie.

Tak; całka, rozbicie na składniki i sprawdzenie działają lokalnie w twojej przeglądarce, bez konta. Opcjonalne wyjaśnienie AI jest zawarte w planach Pro* (*uczciwe wykorzystanie: do 300 uruchomień dziennie w narzędziach do pisania, nauki i kodu) lub kosztuje 2 kredyty bez planu, a niezalogowani użytkownicy otrzymują darmowy podgląd jego pierwszej części.

Traktuj je jako sposób na naukę metody i sprawdzenie własnej pracy oraz przestrzegaj zasad swojego kursu dotyczących narzędzi AI. Wyjaśnienie napisane przez AI może zawierać błędy, więc porównaj je ze zweryfikowanym wynikiem kalkulatora.

Powiązana pomoc z analizy matematycznej

Gotowy do całkowania?

Wpisz funkcję, dodaj granice, jeśli potrzebujesz liczby, i zobacz metodę dla każdego składnika.

Oblicz całkę
  • Sprawdzone przez różniczkowanie
  • Dokładne wartości i liczby dziesiętne
  • Metoda zapasowa Simpsona