Μετάβαση στο περιεχόμενο
Δοκιμάστε το ZeroTell

Σχεδιασμένο για φοιτητές, συγγραφείς και ερευνητές

Υπολογιστής παραγώγων με βήματα

Εισαγάγετε μια συνάρτηση, επιλέξτε τάξη και μεταβλητή και δείτε την παράγωγο με τον κανόνα παραγώγισης πίσω από κάθε όρο.

Δοκιμάστε:

Απάντηση

Εισαγάγετε τους αριθμούς σας ή επιλέξτε ένα παράδειγμα — η απάντηση και τα βήματα εμφανίζονται εδώ αμέσως.

Τι παίρνετε

  • Ο κανόνας για κάθε όρο

    Οι κανόνες αθροίσματος, σταθεράς, σταθερού πολλαπλασίου, δύναμης, γινομένου, πηλίκου, αλυσίδας και εκθετικής αναφέρονται όπου εφαρμόζονται, μαζί με λογαριθμική παραγώγιση για μορφές όπως x^x.

  • Έως την τρίτη παράγωγο

    Επιλέξτε πρώτη, δεύτερη ή τρίτη τάξη. Κάθε υψηλότερη τάξη προκύπτει παραγωγίζοντας ξανά το προηγούμενο αποτέλεσμα.

  • Τιμή σε σημείο

    Δώστε μια τιμή x για να υπολογίσετε την παράγωγο εκεί, ακριβώς όταν είναι εφικτό, μαζί με δεκαδικό. Ο αριθμός αυτός είναι η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο.

  • Επαληθεύεται αριθμητικά

    Πριν εμφανιστεί το αποτέλεσμα, συγκρίνεται με μια αριθμητική παράγωγο της συνάρτησής σας, κάτι που εντοπίζει αλγεβρικά λάθη.

  • Τακτοποιημένο πολυωνυμικό αποτέλεσμα

    Οι πολυωνυμικές απαντήσεις γράφονται με φθίνουσες δυνάμεις, τη μορφή που χρησιμοποιούν οι περισσότερες λύσεις.

  • Οποιαδήποτε μεταβλητή

    Παραγωγίστε ως προς x, t ή όποιο μονό γράμμα είναι γραμμένη η συνάρτησή σας.

Πώς να βρείτε μια παράγωγο με το χέρι

Αυτοί οι κανόνες καλύπτουν τις συναρτήσεις που συναντάτε σε ένα πρώτο μάθημα απειροστικού λογισμού.

  • Κανόνας δύναμης

    d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹. Άρα d/dx x⁵ = 5x⁴, και αφού √x = x^(1/2), η παράγωγός της είναι (1/2)x^(−1/2) = 1/(2√x).

  • Κανόνας γινομένου

    (uv)′ = u′v + uv′. Για x²·sin x, πάρτε u = x² και v = sin x για να πάρετε 2x·sin x + x²·cos x.

  • Κανόνας πηλίκου

    (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². Για x/(x + 1) αυτό είναι ((x + 1) − x)/(x + 1)², που απλοποιείται σε 1/(x + 1)².

  • Κανόνας αλυσίδας

    Παραγωγίστε την εξωτερική συνάρτηση, αφήστε το εσωτερικό ως έχει και πολλαπλασιάστε με την παράγωγο του εσωτερικού: d/dx sin(3x²) = cos(3x²)·6x.

  • Εκθετικές και λογάριθμοι

    d/dx eˣ = eˣ, d/dx aˣ = aˣ·ln a και d/dx ln x = 1/x. Σε συνδυασμό με τον κανόνα αλυσίδας, d/dx e^(2x) = 2e^(2x).

  • Λογαριθμική παραγώγιση

    Για y = x^x, πάρτε ln και των δύο πλευρών: ln y = x·ln x. Η παραγώγιση δίνει y′/y = ln x + 1, άρα y′ = x^x(ln x + 1).

Χρήση του υπολογιστή παραγώγων

  1. Εισαγάγετε τη συνάρτηση

    Πληκτρολογήστε την με ^ για δυνάμεις και * για γινόμενα, π.χ. x^2 * sin(x) ή e^(2x)/x.

  2. Ορίστε τάξη, μεταβλητή και σημείο

    Επιλέξτε πρώτη, δεύτερη ή τρίτη παράγωγο. Το σημείο υπολογισμού είναι προαιρετικό.

  3. Υπολογίστε

    Διαβάστε την παράγωγο, τον κανόνα που χρησιμοποιήθηκε για κάθε όρο και, αν δώσατε σημείο, την ακριβή και τη δεκαδική τιμή εκεί.

  4. Λάβετε γραπτή εξήγηση

    Επιλέξτε «Εξήγηση βήμα βήμα» για την πλήρη αιτιολόγηση του εργαλείου Επίλυση μαθηματικών με AI και συνεχίστε στη Συνομιλία AI αν κάποιο βήμα παραμένει ασαφές.

Οδηγοί για αυτό το εργαλείο

Συχνές ερωτήσεις

Μετρά πώς αλλάζει η ίδια η κλίση. Θετική δεύτερη παράγωγος σημαίνει ότι η γραφική παράσταση είναι κοίλη προς τα πάνω εκεί και αρνητική σημαίνει κοίλη προς τα κάτω· όπου αλλάζει πρόσημο μπορεί να υπάρχει σημείο καμπής.

Οι παράγωγοι μπορούν να γραφτούν με πολλές ισοδύναμες μορφές: 2x·sin x + x²·cos x και x(2 sin x + x cos x) είναι η ίδια συνάρτηση. Υπολογίστε και τις δύο στο ίδιο σημείο για να επιβεβαιώσετε ότι συμφωνούν.

Ναι. Πληκτρολογήστε την τιμή στο προαιρετικό πεδίο και παίρνετε την παράγωγο σε εκείνο το σημείο, ακριβώς όταν είναι εφικτό, μαζί με δεκαδικό. Ένα δεκαδικό που χρειάστηκε στρογγυλοποίηση εμφανίζεται με ≈.

Ναι. Τα αποτελέσματα και οι περιγραφές κανόνων υπολογίζονται στον browser σας από τον δικό μας κώδικα, δωρεάν και χωρίς λογαριασμό. Για πλήρη γραπτή ανάλυση, η εξήγηση AI περιλαμβάνεται στα προγράμματα Pro* (*εύλογη χρήση: έως 300 εκτελέσεις την ημέρα σε όλα τα εργαλεία γραφής, μελέτης και κώδικα) ή κοστίζει 2 credits χωρίς πρόγραμμα· οι επισκέπτες που δεν έχουν συνδεθεί μπορούν να δουν μια προεπισκόπηση της αρχής.

Μπορεί. Το αποτέλεσμα του ίδιου του υπολογιστή ελέγχεται ως προς μια αριθμητική παράγωγο πριν από την εμφάνιση, αλλά το σκεπτικό που γράφει το AI δεν ελέγχεται, οπότε διαβάστε το κριτικά. Χρησιμοποιήστε και τα δύο για μελέτη και αυτοέλεγχο και ακολουθήστε τους κανόνες του μαθήματός σας σχετικά με τη βοήθεια από AI.

Η αριθμομηχανή δέχεται μόνο πληκτρολογημένη εισαγωγή. Αν έχετε μόνο μια φωτογραφία, η Επίλυση μαθηματικών με AI δέχεται εικόνες και μπορεί να ξεκινήσει από εκεί.

Περισσότερα εργαλεία απειροστικού λογισμού

Παραγωγίστε βλέποντας τους κανόνες

Εισαγάγετε μια συνάρτηση και δείτε ποιος κανόνας χειρίζεται κάθε όρο, με επαλήθευση ως προς μια αριθμητική παράγωγο.

Βρείτε παράγωγο
  • Κανόνες δύναμης, γινομένου, πηλίκου και αλυσίδας
  • Πρώτης έως τρίτης τάξης
  • Ακριβής τιμή σε ένα σημείο