Μετάβαση στο περιεχόμενο
Δοκιμάστε το ZeroTell

Σχεδιασμένο για φοιτητές, συγγραφείς και ερευνητές

Υπολογιστής ολοκληρωμάτων με βήματα

Λάβετε μια αντιπαράγωγο που έχει παραγωγιστεί ξανά πίσω στη συνάρτησή σας, ή ένα ορισμένο ολοκλήρωμα υπολογισμένο ως F(b) − F(a).

Δοκιμάστε:

Απάντηση

Εισαγάγετε τους αριθμούς σας ή επιλέξτε ένα παράδειγμα — η απάντηση και τα βήματα εμφανίζονται εδώ αμέσως.

Αόριστα και ορισμένα ολοκληρώματα

  • Αντιπαράγωγοι με + C

    Τα αθροίσματα αναλύονται όρο προς όρο, ο καθένας με την υπόδειξη μεθόδου του, και το αποτέλεσμα παίρνει το + C του. Η παραγώγιση της απάντησης πρέπει να επιστρέψει τη συνάρτησή σας πριν εμφανιστεί.

  • Ορισμένα ολοκληρώματα μεταξύ ορίων

    Εισαγάγετε ένα κάτω και ένα άνω όριο και το Θεμελιώδες Θεώρημα δίνει F(b) − F(a), ακριβές όταν είναι δυνατόν συν ένα δεκαδικό.

  • Αριθμητική εναλλακτική λύση

    Ορισμένες συναρτήσεις, όπως η sin(x²), δεν έχουν στοιχειώδη αντιπαράγωγο. Γι' αυτές η ορισμένη τιμή υπολογίζεται με τον κανόνα του Simpson και σημειώνεται με ≈.

  • Απορρίπτει αδύνατα διαστήματα

    Αν η συνάρτηση είναι απροσδιόριστη ή μη φραγμένη μεταξύ των ορίων, όπως 1/x από −1 έως 1, λαμβάνετε μια εξήγηση αντί για ένα παραπλανητικό νούμερο.

Πώς να ολοκληρώσετε με τον υπολογιστή

  1. Επιλέξτε αόριστο ή ορισμένο

    Διαλέξτε μια αντιπαράγωγο ή αλλάξτε σε ορισμένο όταν χρειάζεστε έναν αριθμό μεταξύ δύο ορίων.

  2. Πληκτρολογήστε τη συνάρτηση και τη μεταβλητή

    Για παράδειγμα 3x^2 + 2x, x*sin(x) ή 1/(1 + x^2), ολοκληρωμένα ως προς x ή άλλο γράμμα.

  3. Προσθέστε όρια αν χρειάζεται

    Το κάτω όριο πηγαίνει στο πρώτο πεδίο και το άνω στο δεύτερο· η εναλλαγή τους αλλάζει το πρόσημο της απάντησης.

  4. Διαβάστε το αποτέλεσμα και τη σύνοψη

    Κάθε όρος δείχνει τη μέθοδό του: κανόνας δύναμης, σταθερό πολλαπλάσιο, αντικατάσταση, ολοκλήρωση κατά παράγοντες ή αποτέλεσμα από τυπικό πίνακα.

Πώς να ολοκληρώνετε με το χέρι: οι μέθοδοι που πρέπει να ξέρετε

Τα περισσότερα ολοκληρώματα πρώτου κύκλου χρησιμοποιούν τον κανόνα δύναμης αντίστροφα: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C για κάθε n ≠ −1, ενώ το ∫ 1/x dx = ln|x| + C καλύπτει τη χαμένη περίπτωση. Τα ολοκληρώματα αθροισμάτων αναλύονται όρο προς όρο και οι σταθερές βγαίνουν έξω, οπότε ∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C.

Η αντικατάσταση αναιρεί τον κανόνα της αλυσίδας. Στο ∫ 2x·cos(x²) dx, θέστε u = x², οπότε du = 2x dx και το ολοκλήρωμα γίνεται ∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C. Αναζητήστε μια εσωτερική συνάρτηση της οποίας η παράγωγος εμφανίζεται επίσης ως παράγοντας.

Η ολοκλήρωση κατά παράγοντες αναιρεί τον κανόνα του γινομένου: ∫ u dv = uv − ∫ v du. Για το ∫ x·sin x dx, πάρτε u = x και dv = sin x dx, οπότε du = dx και v = −cos x. Το αποτέλεσμα είναι −x·cos x + ∫ cos x dx = −x·cos x + sin x + C.

Για ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, βρείτε οποιαδήποτε αντιπαράγωγο F και υπολογίστε F(b) − F(a)· η σταθερά απαλείφεται. ∫ από 0 έως 2 του 3x² dx = 2³ − 0³ = 8. Βεβαιωθείτε πρώτα ότι η συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το διάστημα: για 1/x² από −1 έως 1 ο τύπος θα έδινε −2, που είναι αδύνατο για μια θετική συνάρτηση, επειδή το ολοκλήρωμα στην πραγματικότητα αποκλίνει στο 0.

Συχνές ερωτήσεις

Κάθε συνάρτηση έχει άπειρες αντιπαράγωγους που διαφέρουν κατά μια σταθερά, αφού η παράγωγος μιας σταθεράς είναι μηδέν. Το + C αντιπροσωπεύει όλες τους μαζί.

Συναρτήσεις όπως η sin(x²) ή η e^(−x²) δεν έχουν αντιπαράγωγο φτιαγμένη από στοιχειώδεις συναρτήσεις. Για ένα ορισμένο ολοκλήρωμα ο υπολογιστής τότε περνά στον κανόνα του Simpson και σημειώνει την τιμή με ≈.

Επειδή η συνάρτηση εκρήγνυται ή είναι απροσδιόριστη κάπου μεταξύ των ορίων σας, όπως 1/x στο −1 έως 1. Εφαρμόζοντας εκεί το F(b) − F(a) θα τυπωνόταν ένα νούμερο που είναι απλώς λάθος, οπότε ο υπολογιστής εξηγεί το πρόβλημα.

Παραγωγίζεται ξανά και συγκρίνεται με την αρχική σας συνάρτηση. Μόνο ένα αποτέλεσμα που περνά εμφανίζεται στην κάρτα απάντησης.

Ναι· το ολοκλήρωμα, η ανάλυση όρο προς όρο και ο έλεγχος εκτελούνται τοπικά στον περιηγητή σας χωρίς λογαριασμό. Η προαιρετική εξήγηση AI περιλαμβάνεται στα πλάνα Pro* (*εύλογη χρήση: έως 300 εκτελέσεις την ημέρα σε όλα τα εργαλεία γραφής, μελέτης και κώδικα) ή κοστίζει 2 credits χωρίς πλάνο, και οι επισκέπτες που δεν έχουν συνδεθεί λαμβάνουν δωρεάν προεπισκόπηση του πρώτου μέρους της.

Θεωρήστε τα τρόπο για να μάθετε τη μέθοδο και να ελέγξετε τη δουλειά σας, και ακολουθήστε τους κανόνες του μαθήματός σας για τα εργαλεία AI. Η εξήγηση που γράφεται από AI μπορεί να περιέχει λάθη, οπότε συγκρίνετέ την με το επαληθευμένο αποτέλεσμα του υπολογιστή.

Σχετική βοήθεια για τον απειροστικό λογισμό

Έτοιμοι να ολοκληρώσετε;

Εισαγάγετε τη συνάρτηση, προσθέστε όρια αν χρειάζεστε αριθμό, και δείτε τη μέθοδο για κάθε όρο.

Υπολογίστε ένα ολοκλήρωμα
  • Επαληθευμένο με παραγώγιση
  • Ακριβείς τιμές συν δεκαδικά
  • Εναλλακτική λύση με τον κανόνα Simpson