Siirry sisältöön
Kokeile ZeroTellia

Suunniteltu opiskelijoille, kirjoittajille ja tutkijoille

Integraalilaskin vaiheittain

Saat antiderivaatan, joka on derivoitu takaisin funktioksesi, tai määrätyn integraalin laskettuna muodossa F(b) − F(a).

Kokeile:

Vastaus

Syötä lukusi tai valitse esimerkki — vastaus ja vaiheet ilmestyvät tähän heti.

Määräämättömät ja määrätyt integraalit

  • Antiderivaatat + C:llä

    Summat jaetaan termeittäin, kukin omalla menetelmävihjeellään, ja tulokseen lisätään + C. Vastaus derivoidaan ja sen on palautettava funktiosi ennen kuin se näytetään.

  • Määrätyt integraalit rajojen välillä

    Syötä ala- ja yläraja, niin analyysin peruslause antaa F(b) − F(a) — tarkka arvo kun mahdollista, sekä desimaaliluku.

  • Numeerinen varamenetelmä

    Joillakin funktioilla, kuten sin(x²), ei ole alkeisfunktioista antiderivaattaa. Niille määrätty arvo lasketaan Simpsonin säännöllä ja merkitään ≈.

  • Kieltäytyy mahdottomista väleistä

    Jos funktio on määrittelemätön tai rajoittamaton rajojen välillä, kuten 1/x välillä −1…1, saat selityksen harhaanjohtavan luvun sijaan.

Näin integroit laskimella

  1. Valitse määräämätön tai määrätty

    Valitse antiderivaatta tai vaihda määrättyyn, kun tarvitset luvun kahden rajan väliltä.

  2. Kirjoita funktio ja muuttuja

    Esimerkiksi 3x^2 + 2x, x*sin(x) tai 1/(1 + x^2), integroituna muuttujan x tai muun kirjaimen suhteen.

  3. Lisää rajat tarvittaessa

    Alaraja menee ensimmäiseen kenttään ja yläraja toiseen; niiden vaihtaminen kääntää vastauksen etumerkin.

  4. Lue tulos ja vaiheittainen erittely

    Jokainen termi näyttää menetelmänsä: potenssisääntö, vakion siirto, sijoitus, osittaisintegrointi tai taulukon perustulos.

Näin integroit käsin: menetelmät, jotka on syytä tuntea

Useimmat peruskurssin integraalit ratkeavat potenssisäännöllä käänteisesti: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C kaikilla n ≠ −1, ja ∫ 1/x dx = ln|x| + C kattaa puuttuvan tapauksen. Summien integraalit jaetaan termeittäin ja vakiot siirtyvät ulos, joten ∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C.

Sijoitus kumoaa ketjusäännön. Integraalissa ∫ 2x·cos(x²) dx valitaan u = x², jolloin du = 2x dx ja integraali muuttuu muotoon ∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C. Etsi sisäfunktio, jonka derivaatta esiintyy myös tekijänä.

Osittaisintegrointi kumoaa tulon derivoimissäännön: ∫ u dv = uv − ∫ v du. Integraalissa ∫ x·sin x dx valitaan u = x ja dv = sin x dx, jolloin du = dx ja v = −cos x. Tulokseksi tulee −x·cos x + ∫ cos x dx = −x·cos x + sin x + C.

Määrätyssä integraalissa etsitään mikä tahansa antiderivaatta F ja lasketaan F(b) − F(a); vakio kumoutuu. ∫ 0:sta 2:een 3x² dx = 2³ − 0³ = 8. Varmista ensin, että funktio on jatkuva koko välillä: funktiolle 1/x² välillä −1…1 kaava antaisi −2, mikä on mahdotonta positiiviselle funktiolle, koska integraali itse asiassa hajaantuu kohdassa 0.

Usein kysytyt kysymykset

Jokaisella funktiolla on äärettömän monta antiderivaattaa, jotka eroavat vakiolla, koska vakion derivaatta on nolla. + C edustaa niitä kaikkia kerralla.

Funktioilla kuten sin(x²) tai e^(−x²) ei ole alkeisfunktioista rakentuvaa antiderivaattaa. Määrätyn integraalin kohdalla laskin siirtyy silloin Simpsonin sääntöön ja merkitsee arvon ≈.

Koska funktio räjähtää tai on määrittelemätön jossain rajojesi välissä, kuten 1/x välillä −1…1. Kaavan F(b) − F(a) soveltaminen tulostaisi siinä luvun, joka on yksinkertaisesti väärä, joten laskin selittää ongelman sen sijaan.

Se derivoidaan takaisin ja verrataan alkuperäiseen funktioosi. Vain tarkistuksen läpäissyt tulos näkyy vastauskortissa.

Kyllä; integraali, termeittäinen erittely ja tarkistus ajetaan kokonaan selaimessasi ilman tiliä. Valinnainen AI-selitys sisältyy Pro-paketteihin* (*fair use: enintään 300 ajoa päivässä kirjoitus-, opiskelu- ja koodityökaluissa) tai maksaa 2 krediittiä ilman pakettia, ja kirjautumattomat kävijät saavat ilmaisen esikatselun sen ensimmäisestä osasta.

Käytä niitä menetelmän oppimiseen ja oman työsi tarkistamiseen ja noudata kurssisi AI-työkaluja koskevia sääntöjä. AI:n kirjoittama selitys voi sisältää virheitä, joten vertaa sitä laskimen varmistamaan tulokseen.

Lisää differentiaali- ja integraalilaskennan apua

Valmiina integroimaan?

Syötä funktio, lisää rajat jos tarvitset luvun, ja katso kunkin termin menetelmä.

Laske integraali
  • Tarkistettu derivoimalla
  • Tarkat arvot ja desimaalit
  • Simpsonin säännön varamenetelmä